Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 2 & 1 & 0 5 & - 2 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & - 2 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 2 5 & - 2 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 2 \\ 5 & - 2 & 2 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 9 & - 4 5 & - 2 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 9 & - 4 \\ 5 & - 2 & 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 9 & - 4 5 & - 2 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 9 & - 4 \\ 5 & - 2 & 2 \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.2.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 9 & - 4 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 \cdot - 4 & 2 - 5 \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 9 & - 4 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 \cdot - 4 & 2 - 5 \cdot 2 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 9 & - 4 0 & 18 & - 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 9 & - 4 \\ 0 & 18 & - 8 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 9 & - 4 0 & 18 & - 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 9 & - 4 \\ 0 & 18 & - 8 \end{array}]$

Étape 1.3

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

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Étape 1.3.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 \frac{0}{9} & \frac{9}{9} & \frac{- 4}{9} 0 & 18 & - 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ \frac{0}{9} & \frac{9}{9} & \frac{- 4}{9} \\ 0 & 18 & - 8 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 1 & - \frac{4}{9} 0 & 18 & - 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{9} \\ 0 & 18 & - 8 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 1 & - \frac{4}{9} 0 & 18 & - 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{9} \\ 0 & 18 & - 8 \end{array}]$

Étape 1.4

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 18 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 18 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

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Étape 1.4.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 18 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 18 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 1 & - \frac{4}{9} 0 - 18 \cdot 0 & 18 - 18 \cdot 1 & - 8 - 18 (- \frac{4}{9}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{9} \\ 0 - 18 \cdot 0 & 18 - 18 \cdot 1 & - 8 - 18 (- \frac{4}{9}) \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 1 & - \frac{4}{9} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{9} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 2 0 & 1 & - \frac{4}{9} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{9} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

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Étape 1.5.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 2 + 4 (- \frac{4}{9}) 0 & 1 & - \frac{4}{9} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 2 + 4 (- \frac{4}{9}) \\ 0 & 1 & - \frac{4}{9} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{2}{9} 0 & 1 & - \frac{4}{9} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{9} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{2}{9} 0 & 1 & - \frac{4}{9} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{9} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{2}{9} 0 & 1 & - \frac{4}{9} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{9} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

1

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

a_{11}

$a_{11}$ and

a_{22}

$a_{22}$

Pivot Columns:

1

$1$ and

2

$2$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

2

$2$